kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz
Chúng ta đã biết khá nhiều bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng chúng đễ giải toán bất đẳng thức. Mỗi loại trong chúng đều có những kĩ thuật sử dụng riêng và nếu ta tinh ý thì sẽ phát hiện ra nhiều lời giải rất đẹp, rất độc đáo mà nhiều kĩ thuật chứng minh khác không có được. Người làm toán, đặc biệt là những người đam mê toán bất đẳng thức thực sự rất thích những bài toán chỉ giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển. Trong chuyên đề này chúng tôi xin được giới thiệu với các bạn kĩ thuật thêm bớt trong bất đẳng cauchy-schwarz. Một kĩ thuật thật sự đơn giản nhưng rất thú vị.

Đầu tiên xin được nhắc lại nội dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Với hai bộ số thực bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn ta có bất đẳng thức:
(a12+a22+ …+an2)(b12+b22+ …+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j.

Ta hãy nhìn bất đẳng thức trên dưới dạng khác như sau: Với hai bộ số thực bất kì a1, a2, …, an và b1, b2, …, bn thoả mãn bi dương ta có:


Đẳng thức cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj=ajbi với mọi i≠j. Để sử dụng thật tốt bất đẳng thức này các bạn phải có cái nhìn hai chiều với bất đẳng thức trên. Nói chung thì bất đẳng trên ứng dụng giải toán nhiều hơn hay dễ sử dụng hơn bất đẳng thức dạng chính tắc.

Bây giờ ta đi vào xét các ví dụ để thấy được sức mạnh của bất đẳng thức cauchy-schwarz.
Ví dụ 1. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức Nettbits ba biến.
a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:



Lời giải.
Lời giải bài toán trên rất đơn giản. Sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz ta được.



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.♠

Ví dụ 2. a, b, c là các số dương tuỳ ý. Chứng minh bất đẳng thức



Lời giải.
Ta sử dụng nhận xét sau để giải bài toán trên:


Từ đánh giá trên ta được


Đây là điều phải chưúng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.♠

Lời giải trên thật thú vị phải không các bạn, điều đáng chú ý trong cách giải trên là việc phát hiện hằng đẳng thức sau


Cố gắng tạo ra các đẳng thức bằng cách tách nhóm thích hợp ta sẽ có được những lời giải đẹp. Kĩ thuật này có thể ứng dụng cho các ví dụ tiếp theo sau đây.

Ví dụ 3. a,b,c là các số dương có tổng bằng 3. Chứng minh bất đẳng thức sau



Lời giải.
Sử dụng tư tưởng như trên. Ta cố gắng tìm một đẳng thức. Ta chú ý đến hằng đẳng thức sau


Ta chú ý đến đẳng thức sau 4a2+b2+c2=2a2+(a2+b2)+(a2+c2) và sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được phân tích sau


Từ phân tích trên ta được


Từ đó ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.♠

Qua các ví dụ trên ta thấy kĩ thuật tách nhóm để sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz thật đơn giản nhưng cho được những lời giải đẹp, vừa hay lại vừa độc đáo. Khi phương pháp tách nhóm để đưa về hằng đẳng thức không còn hiệu quả nữa thì ta nên sử lí thế nào? Nói chung việc ước lượng thông qua hằng đẳng thức cũng không quan trọng lắm, miễn là sau khi sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì ta vẫn còn có thể ước lượng các bước tiếp theo. Thay vì cố gắng tìm kiếm hằng đẳng thức ta có thể ước lượng thông qua các bất đẳng thức.

Ta sẽ xem xét các ví dụ sau để thấy được điều đó.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta đều có bất đẳng thức:


Lời giải.
Ta chú ý đến đẳng thức (2a+b)(2a+c)=(2a2+bc)+a(a+b+c)+a(a+b+c)
Từ đó sử dụng Bất đẳng Cauchy-Schwarz ta được


Sử dụng ước lượng trên ta được


Cuối cùng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức

(*)

Thật vậy ta có


Nhưng mà theo bất bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta